摘 要：对于公路填方路基工程，土的最大干密度 和最佳含水量 是路基施工质量控制的两个重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。规范推荐通过绘制 - 曲线图的求解方法，因曲线的任意性空间较大，容易引起人为误差。为此，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则求解击实试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度 和最佳含水量 提供了依据。在实践运用中，将其移植到EXECL或相关程序中，极大提高了工作效率和减少人为误差，具有一定的推广应用价值。 关键词：道路工程；数值分析；最大干密度；最佳含水量；最小二乘；曲线拟合 0 前 言 对于公路填方路基工程，土压实是最重要的工作，填方路堤的质量主要由路基土的压实度来判断的。按照公路工程施工技术规范的规定，土的最大干密度 和最佳含水量 是路基施工质量控制的两重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。按照《公路土工试验规程》（JTJ051）的规定，土的最大干密度 和最佳含水量 是根据击实试验结果，手工绘制 - 曲线图，按曲线的峰值点来确定 和 。从各公路项目的试验结果调查分析来看，这种采用击实曲线求解的方法，往往因不同试验人员的经验、对数据的处理方法、绘制比例等，导致求解的最大干密度 和最佳含水量 结果差异较大。这种差异主要是因为绘制 - 曲线的任意性空间较大容易引起人为误差所致。针对上述击实试验数据处理存在的问题，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则确定对应试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度 和最佳含水量 提供了依据，并给示例进行计算。 1 数值分析原理 1.1曲线拟合原理 设在 直角坐标系中给定 对数据（即相应 和 的坐标） ① 其中 。又选定 个在区间[ ]上连续且在点集 上线性无关的基函数 ，其中 。问题是要在曲线族 ② 中寻找一曲线按照最小二乘原则去拟合击实试验数据①，用所得的拟合曲线去代替击实试验数据①所反映的函数关系。因数据①是在试验室通过击实试验测量计算所得的最佳含水量 和最大干密度 ，一般在试验中总会带有观测误差，因此不必要求曲线 一定要通过数据①表示的所有点。 若曲线 ③ 使得 ④ 成立，则称曲线 为曲线族②中按最小二乘原则确定对于数据①的拟合曲线。 1.2最小二乘法求拟合曲线 所谓最小二乘法求拟合曲线 ，就是按条件④求出系数 。根据离散型的最佳平方逼近的相关原理可知，满足条件④的拟合曲线 存在且唯一，并且从法方程 ⑤ 中求解出 ，就得到拟合曲线③。 拟合曲线 对数据①的拟合精度，用误差平方和σ来描述。 ⑥ 另外，当 时，矩阵A是非奇异的方阵。此时，法方程⑤成为 。这表明，拟合曲线 满足插值条件 而成为插值曲线。 1.3基函数和阶数的确定 作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，根据击实试验 和 的坐标点分布情况，可选择幂函数 作基数，这时，拟合曲线是n次多项式曲线 ⑦ 对于多项式⑦，阶数n的取值是关键，取得太低，拟合就粗糙；阶数n取得太高，拟合过头，相应的法方程往往是病态的，且n越大病态越严重。根据击实试验数据一般都是5组数据的实际情况，在下面结合算例，分别对阶数n取2,3,4的三种情况按误差平方和σ来进行选定。 2 算例 本算例采用《公路土工试验规程》(JTJ051-93)中击实试验表16.0.5的试验数据，具体如下表1： 表1 (%) 8.1 10.2 13.0 15.8 19.0 (g/cm3) 1.67 1.71 1.80 1.83 1.76 2.1不同阶数多项式的求解 （1）取n=2时的情况 当n=2时，拟合曲线为 ⑧ 则： 法方程 的解为 =1.08675， =0.09573， =-0.00315 所求二次多项式为 =1.08675＋0.09573ω－0.00315ω2 误差平方和σ2=0.001224 （2）取n=3时的情况 当n=3时，拟合曲线为 ⑨ 则： 法方程 的解为 =2.05971, =-0.14171, =0.01517 =-0.00045 所求三次多项式为 =2.05971-0.14171ω＋0.01517ω2-0.00045ω3 误差平方和σ3=0.000094 (3)取n=4时的情况 当n=4，即m=n，此时，拟合曲线就成为了插值曲线。所求得的四次多项式为 =3.67316-0.67299ω＋0.07857ω2-0.00370ω3＋0.00006ω4 误差平方和σ4=0 2.2多项式阶数的选定 根据上述求解的不同阶数的多项，绘制出相应的拟合曲线图如下图1。 图1 不同阶次多项式的拟合曲线图 从上图1可以看出，当n=2时，所拟合的曲线误差较大，误差平方和σ2=0.001224，不宜采用；当n=4时，所拟合的曲线变成了插值曲线，σ4=0，但取四次多项作拟合曲线时，计算工作量很大，求解 和 值相当麻烦，且对实际运用没有太大的意义；当n=3时，所拟合的曲线误差很小，σ3=0.000094，足够能满足击实试验的精度需求，且从下面的分析可知，方便解 和 值，故拟定三次多项式作拟合曲线。 2.3 和 的求解 从所求的三次多项式和试验曲线图可知，拟合曲线在[ ]区间存在着最大值，并可根据函数极值原理求解出拟合曲线的最大值。令 ，即 ，则： 求出 后，判断其是否都在[ ]区间，从图1和函数的极值原理可知，试验数据正常情况下，至少有一个（一般也只有一个）ω满足要求。若只有一个满足，则该值即为最佳含水量 ，即可代入式⑨中求出最大干密度 ；若二个都满足，则可代入式⑨，求出相应的 ，则最大干密度 ，最大干密度 对应的含水量即为最佳含水量 。一般 都在[ ]区间内的概率很小。 按上述方法，求解出不同阶次多项式拟合曲线的最大干密度 和最佳含水量 如下表2。 (下转第16页) 表2 阶数n 2 3 4 (%) (g/cm3) 15.2 1.81 15.9 1.83 15.6 1.83 从上表可以看出，采用三次多项式拟合曲线求解出的最大干密度 和最佳含水量 与试验规程中作图求解的结果基本一致。 3 结 语 通过数值分析求解击实试验数据的拟合曲线，为理论求解最大干密度 和最佳含水量 提供了依据。根据试验数据采用理论求解最大干密度 和最佳含水量 改变了作图求解的任意性，减少了人为误差，并通过对误差平方和的分析可知，采用三次多项式曲线足够能满足试验精度的要求。在实践运用中，我们可将其求解过程移植到EXECL或相关程序中，输入击实试验的基础数据后，自动计算出最大干密度 和最佳含水量 ，并可绘制出相应的曲线图，简单易行，可视性好，易于掌握和判别，极大地提高了工作效率和减少人为误差，具有一定的推广应用价值。 参考文献： [1] 颜庆津.数值分析[M].北京:北京航空航天大学出版社,1999,12. [2]交通部公路科学研究所,公路土工试验规程JTJ051-93[S].北京:人民交通出版社,1997. [3] 路桥集团第二公路工程局,公路施工手册路基[M]. 北京:人民交通出版社,2003,1.