[摘要]基于有限变形理论，考虑结构几何非线性，建立了考虑体系转换及初始力影响的钢管拱桥空间稳定分析方法及设计程序；对一座墩拱固结连续钢管拱系杆拱桥进行了施工过程及成桥阶段仿真计算，提出了各施工阶段的空间稳定安全系数，探讨了成桥阶段吊杆、桥面系刚度、拱上横撑、施工误差等因素对稳定性的影响。
关键词 系杆拱 稳定 非线性
一、引言
深圳市芙蓉大桥是一座三跨连续钢管拱系杆拱桥，跨径为 L＝ 55m＋ 80m＋ 55m，桥梁宽度为23.5米，已于2000年3月建成通车。该桥采用钢管混凝土拱肋与桥墩固结，桥面结构采用纵向漂浮体系，由两根T形纵梁及箱形横梁组成，系杆为钢绞线束，拱肋为哑铃形，钢管直径为70cm，拱肋间边孔设两根根撑，中孔设三根横撑，桥面对拱肋的约束作用相对较弱。在设计及施工过程中，如何考虑桥面及吊杆对拱肋的作用，施工过程中结构的体系转换对拱肋空间稳定性的影响等是工程师们关注的重要问题。该桥用文献【1】提供的近似方法进行计算，得出的拱肋稳定临界荷载偏小【1】，而国外一般的几何非线性分析软件仅能将各施工阶段作为独立的结构采用特征值法进行计算，不能考虑各阶段之间内力的传递与初始力影响。为此，本文基于有限变形理论，考虑结构几何非线性，建立了一套能够模拟施工及成桥阶段受力的钢管拱系杆拱桥弹性内力及空间稳定性分析方法和仿真程序，采用初始内力法考虑阶段问体系转换及弹性内力的传递，逐步加载进行各施工阶段空间稳定性分析。模拟实际桥梁施工阶段，计算分析了该桥各阶段的稳定安全系数先稳特性；探讨了成桥体系拱肋的稳定安全系数及其影响因素，为该桥的设计及施工提供了依据。
二、施工阶段划分与计算模型
采用空间梁系模拟实际结构，纵梁、横梁组成梁格体系，拱肋根据钢管混凝土换算截面离散成拱单元，竖向构件由吊杆、墩柱组成。基础和土的共同作用按桩基等代法模拟，其力学模型如图1所示。整个施工过程模拟按9个阶段进行：
阶段1：边孔单侧拱肋封拱脚，不计横向风撑作用阶段。
阶段2：边孔双侧拱肋有横撑，中孔单侧拱肋封拱脚无横撑阶段。
阶段3：双侧钢管及横撑安装就位，一侧拱肋灌满混凝土，另一侧为空钢管，但混凝土不参加受力。
阶段4：混凝土钢管共同作用，吊装横梁。
阶段5：混凝土钢管共同作用，吊装纵梁。
阶段6：纵、根参加作用，吊装槽形板。
阶段7：灌注湿接头及 7cm厚板面混凝土。
阶段8：纵、横参加作用，铺装桥面。
阶段9：桥面系参加作用，成桥运营。
各阶段均考虑了拱肋的初始偏心，拱顶偏心值为 L／5000＋ 5mm，从拱顶至拱脚按半正弦曲线变化。
三、结构计算基本原理与程序实现
1．考虑初始力的U．L增量形式平衡方程
基本假定：结构在变形前、后的截面积和体积相同，大变形小应变，变形前垂直于中性轴的截面变形后仍为平截面[3]。
将时刻t视为外荷载°Pi作用下有初应力°σij的结构，其中°σij为当前阶段由于体系转换、预应力效应、吊杆张拉等在结构中的应力状态。
由t至t＋Δt时刻，外荷载增量Pi，应力增量σij，应变增量εij，位移增量u；如图2。
则t至t十Δt时刻过程中结构的总势能增量为
将应力增量。对应变增量εij划分为线性与非线性两部分，即
将式（2）至式（4）代人式（1），略去
等高阶项得：
由势能驻值原理δπ＝0则U．L法描述的平衡方程为
式中
式（6）即为考虑初始力影响的三维连续体U．L列式的增量平衡方程。结构进行有限元离散，由左边第一项即可得到弹性或弹塑性刚度矩阵，由第二项可得出几何刚度矩阵，又称初应力矩阵，右边第一项为t＋Δt时刻外何载等效节点力向量，第二项为t时刻初应力引起的等效节点力向量。
2．空间梁元U．L增量平衡方程
由式（6）可得空间梁元U．L增量平衡方程：
其中
当梁处于弹性时，tKL即为单元弹性刚度矩阵：
此为单元几何刚度矩阵，该刚阵有别于一般几何非线性的刚阵，它考虑了初始力的影响力
为t＋Δt时等效节点力向量；
为初始力引起的不平衡修正力。
上述各式即为考虑几何非线性的有限元方程，将单元局部坐标系下的各量进行转换，即可得到整体坐标下结构的有限元几何非线性基本方程。
3．计算方法及程序实现
式（6）以增量形成表示的计及初始不平衡效应的有限元公式可以表示为：
式中
从结构失稳的载荷位移关系曲线可以发现，随着载荷的增加，结构的当前刚度参数也随之而变化，所谓当前刚度参数，是指与当前刚度矩阵有关的能量和与起始刚度矩阵有关的能量之比，当前刚度参数可以定义为 
这样即形成了一种自动加载系统。
由式（8）可知，如果[KT]非奇异，则给定载荷增量参数Δλ，即可采用某种选代解法（本程序用修正的Newton～Raphson法）而求得增量位移{ΔQ}。然而在极值点附近，如继续上述方法，将无法得到收敛的结果。为此在极值点附近一个选定的区域里终止选代，即认为结构已发生了极值点失稳。该区域的确定，可通过条件Sp≤εl来实现，式中，εl是根据问题的需要而选定的正实数，一般取εl≤0.1即可。
在计算中，可采用下述两个原则来判定结构是否失稳：
（1）[KT]奇异，但此时Sp＞εl，此种情况多由几何非线性所致，属分叉型失稳。
(2)Sp≤εl，结构软化，此种情况多由物理非线性和几何非线性共同作用所致，属极值点型失稳。
四、失稳特征判别及计算结果分析
1．失稳特征
结构失稳为空间失稳，其面内、面外均有位移。为了判别拱肋的失稳模态，将根据拱肋变形及拱顶荷载一位移曲线的关系区分拱肋是面内失稳和面外失稳。若拱顶的面内变形与荷载呈非线性，面外为线性，则判定为面内失稳，反之为面外失稳。图3为阶段1在自重及水平风力作用下的失稳模态及拱顶荷载位移曲线，图4为阶段9成桥状态在使用荷载作用下的失稳模态及拱顶荷载位移曲线，由此可以得出在这两个施工阶段均为面外失稳，阶段9计算结果还表明，结构失稳为边孔及中孔拱肋均达到失稳状态。表1给出了各阶段的失稳特征。
2．各阶段安全系数
拱肋稳定安全系数可以有两种表达方式：
其一为 n=(p0+λp)/(p0+p1) （12）
其中，p0为初始荷载，p为加载模式的基本值，λ为加载因子，p1为可变荷载。
这种表达方式概念明确，适合一般荷载较为明确的结构分析。但由于桥梁结构初始力构成比较复杂，进行结构非线性加载时，仅有部分初始力作为增量荷载，很难用显式P0表达所有的初始力，因此，拱肋稳定安全系数采用第二种表达方式：
n＝Ncr／N （13）
其中，Ncr为拱肋失稳轴力，N为该阶段对应的使用荷载作用下的轴力。这种表达方法仅考虑了拱肋失稳时拱肋临界轴力与使用荷载之比，能够明确表示出初始力的影响，但忽略了其他因素的相互作用，本文采用第二种方法定义拱肋的稳定安全系数。各阶段稳定安全系数如表1。
由表1可知，阶段4，5桥面及吊杆对拱肋的约束作用尚未形成，只有钢管混凝土拱肋支承，稳定安全系数较其他施工阶段小；成桥阶段考虑桥面板与纵、横梁形成桥面系共同参加作用，稳定安全系数为6.9。对于哑铃形截面，拱肋面外刚度偏小，结构失稳均表现为面外失稳。
五、结构体系选择与稳定性的讨论
连续钢管拱桥采用拱肋与墩柱固结，各横梁之间仅有两根较弱的T形纵梁联系且纵梁悬吊在拱脚处，整个桥面系的栈桥向约束较小。在此情况下，当供肋侧倾失稳时，吊杆的非保向力效应及拱肋间的横撑设置是设计及施工阶段必须明确的问题。为此，本文基于前述
方法，对成桥阶段的结构体系进行了讨论，初步讨论了以下六种结构体系情况：
1．桥面系整体参加工作，不计吊杆的"非保向力效应"，拱肋间设横撑；
2．桥面系整体参加工作，不计吊杆的"非保向力效应"，拱肋间不设横撑；
3．桥面仅考虑两根纵梁参加工作，计入吊杆的"非保向力效应"，拱肋间设横撑；
4．桥面仅考虑两根纵梁参加工作，计入吊杆的"非保向力效应"，拱肋间不设横撑；
5．桥面系整体参加工作，计入吊杆的"非保向力效应"，拱肋间设横撑；
6．桥面系整体参加工作，计入吊杆的"非保向力效应"，拱肋间不设横撑。
表2给出了上述各体系的稳定安全系数计算结果，根据桥面结构的实际情况，对纵梁进行有效的横向约束，成桥工作状态介于体系3与体系5之间，稳定安全系数为3.96～6.90，基本满足规范要求；若取消拱肋间的横撑，则成桥工作状态介于体系4与体系6之间，稳定安全系数2.68～5.31，不能满足规范要刹到，该桥拱肋间必须设置横撑；若不计吊杆"非保向力效应"，拱肋的稳定安全系数仅有计吊杆"非保向力效应"的 28％～ 35％。由此可知吊杆作用、纵梁及桥面系刚度、拱肋间横撑对系杆拱桥稳定性及体系选择影响很大。
六、结束语
本文结合深圳市芙蓉大桥连续钢管拱桥的设计和施工，建立了一套能够模拟施工及成桥阶段受力特征的钢管拱系杆拱桥弹性内力及空间稳定性分析方法和仿真程序，分析了施工阶段及成桥阶段的空间稳定安全系数。实际上，由于结构体系在施工过程中不断转换及工作状态的复杂性，结构的安全系数只能控制在一个范围内，而不能是一个定值。结构体系的选择应考虑施工过程及结构的实际工作状态。本文提出的结论为大桥的设计及施工提供了科学依据，也可供同类型的桥梁参考。桥梁结构的失稳是极值点失稳，属于极限承载力问题，但由于对钢管混凝土的受力性能基础研究的不足，对钢管拱的弹塑性分析尚未达到实用阶段，建议加强这方面研究。
参考文献
【1】李国豪等．桥梁结构稳定与振动．北京：中国铁道出版社，1992
【2】顾安邦，孙国柱．公路桥涵设计手册，拱桥（下册）．北京：人民交通出版社，1994
【3】龚尧南，王寿梅．结构分析中的非线性有限元素法．北京：北京航空学院出版社，1986
