线路控制测量中坐标系统的建立与统一方法

【摘要】 本文以公路测量为例，较详细地论述了在线路测量中应考虑的变形因素，以及解决变形的办法，详细地叙述了建立独立坐标系的作用及建立这种坐标系的六种方法，并介绍了因提高归化高程面而产生新椭球后的一些椭球常数的计算方法和步骤。此外，本文还对当路线跨越相邻投影带时，需要进行相邻带的坐标换算这一问题进行了阐述。

【关键字】 独立坐标系 高斯投影带 抵偿高程面 新椭球常数 坐标转换 归化高程面

线路控制测量中坐标系统的建立与统一方法

第一章 概述

铁路、公路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。为达此目的，必须进行反复地实践和比较，才能凑效。

线路在勘测设计阶段进行的控制测量工作，称线路控制测量，在线路控制测量过程中，由于每条线路不可能距离较短,有的可能跨越一个带,二个带甚至更多,所以,在线路控制测量中,长度变形是一个不可避免的问题，但我们可以采取一些措施来使长度变形减弱，将长度变形根据施测的精度要求和测区所处的精度范围控制在允许的范围之内。最有效的措施就是建立与测区相适应的坐标系统.

坐标系统是所有测量工作的基础.所有测量成果都是建立在其之上的,一个工程建设应尽可能地采用一个统一的坐标系统.这样既便于成果通用又不易出错.对于一条线路,如果长度变形超出允许的精度范围,我 们将建立新的坐标系统加以控制.这就涉及到一个非常关键的问题,既,坐标系统的建立与统一.对于不同的情况,我们可以采用适应的方法尽可能建立统一的坐标系统,且使其长度变形在允许范围之内.

本文以公路控制测量为例，详细论述了线路控制测量中坐标系统的建立与统一方法.

第二章 坐标系统的建立

当对一条线路进行控制测量时,首先应根据已有资料判断该测区是否属同一投影带和长度变形是否在允许范围之内.这样我们就可以判断是否需要建立新的坐标系统和怎样建立,下面对此进行详细讨论.

§2.1 相对误差对变形的影响

与国家点联测的情况：

我们的每项测量工作都是在地球表面上进行的,而要将实地测量的真实长度归化到高斯平面上,应加入二项改正.这样就改变了其真实长度,这种高斯投影平面上的长度与地面长度之差,称之为长度综合变形,其计算公式为,

£=+Ym²*S/2R²-Hm*s/Ra

取：R=Ra=6371Km.S=s

将其写成相对变形的形式并代入数子：

£/s=(0.00123y²-15.7H)*10

y：测区中心横坐标（Km）

H：测区平均高程（Km）

依据我国的工程测量规范规定，建立平面控制网的坐标系统应该保证长度综合变形不超过2.5cm/km.（相对变形不超过1/40000）。与国家电联侧的情况。

2.1.1当长度综合变形小于2.5cm/km,（相对变形小于1/40000）时

因为这时的长度变形符合精度要求,即在允许的误差范围之内,故这时的变形不予考虑。直接采用国家统一的坐标系统。

2.1.2当长度综合变形大于2.5cm/km,（相对变形超过1/40000）时

因为这时的长度综合变形已不符合精度要求，所以必须对变形予以考虑，那么我们要采取何措施才能最大程度地限制变形，将变形控制在允许的范围之内呢?方法就是建立适应于该测区的地方独立坐标系.

§2.2建立地方独立坐标系

2.2.1建立地方独立坐标系的作用

在工程建设地区(如公路，铁路，管线，水库)布设测量控制网时,其成果不仅要满足1:500比例尺测图需要,而且还应满足一般工程放样的需要.在线路测量中，最总是要将测的收据经计算在放倒实地而施工放样时要求控制网由坐标反算的长度与实测的长度尽可能相符,但国家坐标系的成果很难满足这样的要求,这是因为国家坐标系每个投影带（高斯投影）都是按一定的间隔(6°或3°)划分,由西向东有规律地分布.而每项工程建设地区的中眼再者,国家坐标系的高程归化面是参考椭球面,各地区的地面位置与参考椭球面都有一定的距离,这两项将产生高斯投影变形改正和高程归化改正,经过这两项改正后的长度不可能与实测的长度相等.建立独立坐标系的主要目的就是为了减小高程归化与投影变形产生的影响,将它们控制在一个微小的范围,使计算出来的长度在实际利用时(如工程放样)不需要做任何改算.

2.2.2建立独立坐标系主要考虑哪些方面的因素

建立独立坐标系主要考虑两个方面的因素：一是分带;一是建立抵偿高程面.

2.2.2.1分带方法

地球的形状与大小,即大地水准面的形状与大小,十分接近一个两极稍扁的旋转椭球体.我们平常所用的地形图一般采用高斯投影,即横轴椭圆柱正形投影.如图(略), 椭球与椭圆柱面相切的子午线成为中央子午线或轴子午线,即高斯平面直角坐标系的X轴.将中央子午线东西方向一定经差(一般为6°或3°)范围地区投影到椭圆柱面上再把椭圆柱面按某一棱线展开,便构成了高斯平面直角坐标系统。

高斯投影中,除中央子午线外,椭球面上上任何两点投影到椭圆柱面上,两点间线段的长度均发生变形，且随着中央子午线两侧经差的增大，长度变形加剧。为了控制这种长度变形，使它在测图和用图时影响很小，在相隔一定地区另立中央子午线，即采用分带投影。我国国家测量规定采用6°带和3°代两种分带办法。一般地，对于1/25000~1/100000的地形图采用6°带，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3°带，同时还规定每一个6°带向东加宽30′，向西加宽15′或7.5′，以保证在投影带的边缘部分有两套坐标和地形图，便于在边缘部分补点、计算。有些测绘单位为了控制长度变形，满足工程放样的需要，往往对1/1000、1/500或更大比例尺的地形图采用1.5°带或独立投影带。由于采用分带投影，椭球面上统一的坐标系被分割成相互独立的坐标系。在公路施工测量中，常常会遇到内容完全相同的地形图中点的坐标不一样的情况，就是在测图时采用了不同中央子午线的缘故，需要进行坐标换带计算。

2.2.2.2投影带的选择

国家坐标系统为了控制长度变形，虽然采用了分带投影，以满足测图的基本要求，但长度变形依然存在，尤其是在投影带的边缘，长度变形不能满足高等级公路勘测和施工的要求。减弱长度变形的办法是根据精度要求和测区所处的精度范围来选择中央子午线和投影带的大小重新确定分带投影。<<工程测量规范>>规定，当长度变形超过1/40000时，必须进行分带投影。

2.2.2.2.1长度变形

在高斯投影中，首先要把地面上的长度换算到参考椭球面上，然后再换算到参考椭球面上。设地面上的长度为S,Hm为平均高程面高程，hm表示大地水准面超出参考椭球面的高度，R表示地面长度方向法截线的曲率半径，那么，将地面上的长度换算到参考椭球面上的改正数为：

⊿=-……

当=2000m时，二次项的影响小于10，的影响也很小，可以忽略。因此

⊿= - ┅┅┅┅┅┅⑴

将参考椭球面上的长度换算到高斯平面上的改正数为：

⊿

当<70km和<350km时（6º带边缘），公式误差小于10m；对于边长较短的三、四等计算，完全可以只取第一项 ：

⊿ ┅┅┅┅┅┅⑵

由上面两式可以看出，两项改正符号互为相反 。理论上，当两项改正大小相等时，长度变形为零。即

┅┅┅┅┅┅⑶

按式⑴选择测区中心点，理论上可以满足地面距离与高斯平面上的距离保持一致。

2.2.2.2.2测区中心点大地坐标（B,L）的计算

设公路起点坐标为(,),中点坐标为（,）,令

已知

子午圈弧长公式为

┅┅┅┅┅⑷

对我国采用的克氏椭球来说

高斯投影反算公式（高斯投影中由平面直角坐标计算该点在椭球面上的地理坐标的公式）为

┅┅

┅┅┅┅┅┅⑸

计算时尚需将换成。

┅┅┅┅┅┅⑹

由公式⑵⑶⑷可计算出点（,）的大地坐标(,)

按式⑴计算出,同样可求出′,则新投影的中央子午线为：

2.2.2.2.3投影范围的确定

实际上，测区范围不是一个理想的水平面，总是高低不平，y值变动有正有负，虽然采用新投影，但残余变形依然存在。对式⑴、式⑵微分：

转换成中误差的形式：

两项误差的共同影响为

将式⑶带入并整理得：

┅┅┅┅┅┅⑺

即为某点相对于测区中心变动的最大幅度。因此，投影带的最大宽度为。如果测区范围内值变动大于，则要进行分带处理。下面通过实例帮助分析理解这一点。

2.2.2.2.4例：从国家3°带基本图上查得某高速公路起点坐标为 （3272722，40605050），终点坐标为（3273592，40667890），该测区为平原微丘，高程变化为170∽230m，平均海拔高程为200 m，要求测区内长度变形不超过1/15000，试分析是否要进行换带投影。

第一步：分析是否可以直接套用国家坐标系统

由已知数据计算得：

由式⑴、式⑵计算得到长度变形之和为1/5050，超出精度要求范围，故不能套用国家坐标系统，必须进行换带投影。

第二步：投影带宽度的确定

要求长度变形小于1/15000，按式⑺求得,而测区内值变动为

故只需选择一个投影带即可。

第三步：求测区中心点的大地坐标

由坐标值可知，°。由、按式⑸ 、式⑹可计算出：

B=29°34′30″

l=1°24′33″

按式⑶求得=50481.68,由、按式⑸ 、式⑹可计算出：

l′=0°31′16″

选取中央子午线的原则是，以靠近国家坐标系统标准投影带中央子午线的值作为新的投影带的中央子午线。因此

120°53′14″

新的投影带中央子午线确定后，原国家点坐标要换算到新的坐标系中方能使用。

2.2.2.3如何确定抵偿高程面

我们知道，将实地测量的真实长度归化到国家统一的椭球面上时，应加如下改正数

⊿ ┅┅┅┅┅┅⑻

式中 ——长度所在方向的椭球曲率半径；

——长度所在高程面对于椭球面的高差；

——实地测量水平距离。

然后再将椭球面上的长度投影至高斯平面,则加入如下改正数

⊿ ┅┅┅┅┅┅⑼

式中 ——测区中点的平均曲率半径；

——距离的末端点横坐标平均值。

这样地面上的一段距离，经过上面两次改正计算，被该改变了真实长度。这种高斯投影平面上的长度与地面长度之差，我们称之为长度综合变形，其计算公式为

为了计算方便，又不致损害必要精度，可以将椭球视为圆球，取圆球半径≈≈6371km,又取不同投影面上的同一距离近似相等，即S≈s,将上式写成相对变形的形式，则为

┅┅┅┅┅┅ ⑽

公式⑴表明，将距离由较高的高程面化算至较低的椭球面时，长度总是减小的；公式⑵则表明，将椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增加的。所以两个投影过程对长度变形具有抵偿的性质。如果适当选择椭球的半径，是距离化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个椭球面化算至高斯平面所增加的数值，那么高斯平面上的距离同实地距离就一致了。这个适当半径的椭球面，就称为“抵偿改称面”。

欲使长度综合变形得以抵偿，，必须

将推证式⑶时所用的关系和数据代入，

则

式中，若以百公里作单位，以m作单位则

┅┅┅┅┅┅⑾

利用上式可以确定抵偿高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影3º带的坐标,该地平均高程为400m，按式⑷算得

即抵偿面应比平均高程面低650m,如图1所示。

图1

于是抵偿面的高程为

2.2.3建立地方独立坐标系的方法

建立地方独立坐标系的方法较多，下面讨论几种可供选择的方案。讨论之前，让我们先看看长度元素高程归化改正与高斯投影长度改化计算。

一个导线网观测边长的归算可分为高程归化和长度改化，而方向观测值也要经过方向改化后，才能作为平面的边与边之间的连接方向值，但由于其值较小，不作叙述。这里主要看一看高程归化和长度改化对边长带来的影响。

将地面上观测的长度元素归算到参考椭球面上按以下公式计算：

,,。

式中：

为归化到参考椭球体面上的长度；

为地面上的观测长度；

为高程归算改正；

为观测边的平均大地高；

为观测边相对于大地水准面的平均高程；

为大地水准面至参考椭球面的距离；

为该地区平均曲率半径；

为参考椭球子午圈曲率半径；

为参考椭球卯酉圈曲率半径。

对于不同的大地高，长度归算的每千米相对数值见表1（设Rm=6370km）。

Hm( hm1+hm2)∕m	- Hm∕ Rm
10	1:60万
20	1:30万
50	1:10万
100	1:6万
150	1:4万
200	1:3万
300	1:2万
400	1:1.5万
500	1:1.2万
1000	1:6000
2000	1:3000
3000	1:2000
4000	1:1000

表1

将椭球面的长度改化到高斯平面的长度按下列公式计算：

式中：为改化到高斯平面上的长度；

为在参考椭球面上的长度；

为在高斯平面上离中央子午线垂距的平均值；

为该地区平均曲率半径。

设，边长离中央子午线垂距的相对变形见表2。

10	1:80万
20	1:20万
30	1:9万
40	1:5万
45	1:4万
50	1:3万
100	1:8000
150	1:3600
200	1:2000
300	1:900

表2

2.2.3.1方法一：把中央子午线移到城市或工程建设地区中央，归化高程面提高到该地区的平均高程面（严格地讲，要提高到那个地区的大地高平均面）。这样既可以使该测区的高程归化改正和中央地区的投影变形几乎为零，又可保证在离中央子午线45km 以内的地区其投影变形的相对误差小于1/4万。这种独立坐标系最适合工程建设区的需要，因为工程建设的所辖面积不会太大，东西跨度90km完全可以满足需要。

2.2.3.2方法二：在建立城市独立坐标系时，上面第一种方法对某些城市不太适合，因为城市独立坐标系不但要满足市区的测图，而且还要满足它所管辖郊县地区的测图精度。跨度90km可能对某些城市来说是不够的，这就需要利用高程归化改正和投影变形可以相互抵消的特点，可以把它们结合起来进行设计。如果把中央子午线设在城市中央，而把高程归化面设在城市地区平均高程面以下100m左右的地方，可以算处在城市中央地区的长度变形小于1/6.4万，而离开中央子午线各55km左右的距离亦可保证长度综合变形小于1/4万。东西110km的跨度一般可以满足城市及郊县的测图精度的需要.

2.2.3.3方法三：变动高程归化面的计算是比较复杂的，这不仅要计算出新的椭球参数和一切常数，而且还要把本地区国家坐标系控制点（作为独立坐标系的起算点）转换到新产生的椭球面上，工作量比较大。为了避免这些复杂的计算，建立新坐标系可以不变动高程归化面（即还是把长度归算到国家坐标系的参考椭球面上），而只移动中央子午线的办法。根据下式可以计算出中央子午线离开测区中央地带的远近：

设某城市或工程建设地区的平均大地高为，

则

这就是说将中央子午线设在西离城市或工程建设中心50km的地方，可是中央地区的相对误差为零。

该坐标系控制的最大距离用下式计算：

式中：

表示相对误差。

设 =1/4万，则按上面假设数据

上例说明，如果那个地区大地高为200m时，而又不改变高程投影面，只要将中中央子午线设在西离测区中央50km的位置，就可以保证在测区中央东西各距18km范围内，两项改正之和小于1/4万。

以上两式可以计算任何地区独立坐标系中央子午线的位置及控制的最大范围。

在以上建立地方独立坐标系的三种方法中：将中央子午线西移一个常数（如50km），形成纵坐标轴，其横坐标轴是在赤道处与纵坐标轴垂直相交，如需要亦可向北移动一个常数。

2.2.3.4方法四：选择“抵偿高程面”作为投影面，按高斯正形投影3°带计算平面直角坐标

“抵偿高程面”位置的确定方法,上面已作了详细的论述（见1.2.2.3），此处不再敖叙。抵偿面位置确定后，就可以选择其中一个国家大地点作（原点），保持它在3º带的国家统一坐标值(,)不变，而将其它大地控制点坐标(,)换算到抵偿高程面相应的坐标系中去。换算公式为

式中，为该地平均纬度处的椭球平均曲率半径。这样，经过上式换算的大地控制点坐标就可以作为控制测量的起算数据。

需要时，还可将控制点在独立坐标系中的坐标，按下式换算成国家统一坐标系中的坐标

2.2.3.5方法五：保持国家统一的椭球面作投影面不变，选择“任意投影带”，按高斯投影计算平面直角坐标

不同投影带的出现，是因为选择了不同经度的中央子午线的缘故。如果我们合理选择中央子午线的位置，使长度投影到该投影带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，此时高斯投影平面上的长度仍和实地长度保持一致。我们称这种抵偿长度变形的投影带为“任意投影带”。为了确定任意投影带的中央子午线的位置，需要在公式⑤中引入经度查“”。取高斯投影坐标正算公式

带入式⑤，略加变换即得

″= 7362″

式中 ——测区中心位置的纬度和经度；

——椭球在纬度B处的卯酉圈曲率半径；

——测区的平面高程；

——经度与任意带的中央子午线经度之差。

2.2.3.6方法六：选择平均高程面作投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标

选择这种独立坐标系统的实质，在于保证测区中心处≈0,≈0,使得按式⑽计算的δ≈0，做到测区范围内的长度综合变形为最小。为此，应对用作控制测量起算数据的国家大地点坐标进行如下处理：

（1） 利用高投影坐标正反算的方法，将国家点的平面坐标换算成大地坐标()；并由大地坐标计算这些点在选定的中央子午线投影带内的平面直角坐标()。

（2） 选择其中一个国家点作为“原点”,保持该点在选定的投影带内的坐标不变，其他国家点按下式将坐标换算到选定的坐标系中去

式中符号意义同前。按上式换算的坐标值(xˊ,yˊ)，均可作为控制网的起算数据 。

将方法四、五、六加以比较可以看出：方法四是通过变更投影面来抵偿长度综合变形的，具有换算简便、概念直观等优点，而且换系后的新坐标与原国家统一坐标系坐标十分接近，有利于测区内外之间的联系。方法五是通过变更中央子午线、选择任意带来抵偿长度综合变形的，同样具有换算简便、概念清晰等优点，但是换系后的新坐标与原国家统一坐标系坐标差异很大。方法六使用即改变投影面，又改变投影带来抵偿长度综合变形的办法，这种既换面又换带的方法不够简便、不易实行，同时换系后的新坐标与原国家统一坐标系的坐标差异较大，不利于和国家统一坐标系之间的联系。

*上面详细讲述了建立地方独立坐标系的六种方法，但是在新建地方独立坐标系时，如果想变动高程归化面，这将产生一个新椭球。这就必须计算新椭球常数。

§2.3计算新椭球常数

2.3.4计算新椭球常数及将控制点的大地坐标转换到地方坐标系

新椭球常数按下列方法和步骤进行。

2.3.4.1新椭球是在国家坐标系的参考椭球上扩大形成的，它的扁率应与国家坐标系参考椭球的扁率相等。

即

第一偏心率和第二偏心率也与国家参考椭球相同；

即

2.3.4.2计算该坐标系中央地区的新椭球平均曲率半径和新椭球长半轴：

新椭球平均曲率半径为：

式中：

为该地区平均大地高；

α为国家参考椭球长半轴；

为城市中心地区的平均纬度。

新椭球的长半轴按下式计算：

2.3.4.3计算新椭球常数。

新椭球确定后，全部计算工作都要在新椭球面上或者通过新椭球传算到高斯平面上进行。而其中进行大地坐标的正反算工作是大量的。1997年《测绘通报》第3起登载了中国测绘科学研究院顾旦生研究员的“一组高精度椭球面电子计算实用公式”文章，其中有一部分列出了大地坐标正反算公式的全部内容，但涉及很多椭球常数，只有计算出这些新椭球常数，这组公式才能在地方独立坐标系中得以应用。现将这些椭球常数的计算公式列出以供参考：

,

），

其中：

),

),

),

另一组常数为：

新椭球常数计算后就可以将属于国家大地坐标系的起算点转换为地方独立坐标系。

设某起算点在国家坐标系中的大地坐标为B,L，由于新椭球的球心与旧椭球重合，扁率不变，经度不会发生变化，

即

其纬度值为：

式中：

W

Δa为两椭球的长半轴之差，

为国家参考椭球第一偏心率

再根据新布设的中央子午线，采用高斯投影正算公式可将、化为、,然后对所有观测数据均以新坐标系为准进行化算和平差。如果要将独立坐标系点的坐标化为国家坐标系，只要根据高斯投影反算公式计算出、, 然后利用上列公式化为国家坐标系的，再利用高斯投影正算公式并根据国家坐标系相应的中央子午线，即可化为。

国家测绘局大地测量数据处理中心已编制了一整套建立地方独立坐标系的软件，可以供所需单位使用。

*前面我们所论述的线路测量中的变形处理及坐标系的建立都是与国家点联测时的情况，那么当线路不与国家点联测时，又采取什么措施呢？

因为这种情况下一般是建设低等级公路，精度要求很低，这时我们可以建立自由坐标系，不考虑变形。

第三章 相邻带的坐标换算

§1概述

当线路较长时 ，线路可能会穿越两个、三个或更多的投影带，因为越靠近投影带的边缘，高斯投影变形越大，我们必须采取一定的方法对变形加以限制，采取的方法就是通过移动投影带的中央子午线，将一个投影带边缘的线路坐标转换到另一个带中进行处理计算，从而达到减小变形、将变形控制在允许的范围之内的目的。那么具体该如何处理呢?下面我们将详细论述并解决这个问题。

前面已经说过，我国国家测量规定采用6 º带和3 º带两种分带办法 。一般地，对于1/25000~1/100000的地形图采用6 º带，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3º带，在实际的线路测量中，我们采用的地形图一般都是1/10000或更大比例尺的地形图，所以一般采用3º带。如图2所示，是一条线路穿过两个3º带的情况（一般情况下一条线路至多穿过两个带），因为越靠近投影带的边缘长度变形越大，所以，为了减小长度变形，我们向左适当移动2号带的中央子午线，于是，2号带边缘的点通过移动就转到靠近1号带中央子午线的地方，因为这两个带有交叉，所以这两个带之间存在着共同的几何关系，由这一几何关系和相邻带的坐标换算就可以计算出该点在1号带的相应坐标，由此，我们实现了减小线路在投影带边缘的长度变形和坐标换算的目的，下面，我们详细论述相邻带的坐标换算方法。

图2

§2换算方法

该换算法是以大地坐标（）作为过渡，换算方法如下：

3.2.1取已知点的纵坐标，使，用子午弧长公式和逐次趋近法求

3.2.2计算纬差\经差求得后

然后按式⑸、式⑹计算纬差、经差（见图3）。

图3

3.2.3计算地理坐标（）

3.2.4计算点在邻带的经差′

分别是两相邻带的中央子午线的经度，可由已知点坐标前的带号求得。

6º带：

3º带：

我国幅员辽阔，包含了西自75º东至135º范围内的投影带。所有6º带的中央子午线都是3º带的中央子午线。

3.2.5计算点在邻带的坐标

高斯投影正算公式为：

┅┅┅┅┅┅⑿

求得后，按式⑿计算点在邻带的坐标

最后，应在值上加，前面再加上邻带的带号。